1. बहुपद क्या होता है?
बहुपद गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें एक या एक से अधिक पद होते हैं, और हर पद में एक निश्चित गुणांक और एक या अधिक चरों की शक्तियाँ होती हैं। उदाहरण : 2×3−5×2+3x−72x^3 – 5x^2 + 3x – 7 एक बहुपद है।
2. बहुपद के प्रकार क्या होते हैं?
बहुपद मुख्यतः तीन प्रकार के होते हैं: एकल पदीय (Monomial), द्विपदीय (Binomial), और त्रैतीयक (Trinomial)। उदाहरण:
- एकल पदीय: 4x24x^2
- द्विपदीय: 3×2−2x3x^2 – 2x
- त्रैतीयक: x3−4×2+5x−6x^3 – 4x^2 + 5x – 6
3. बहुपद की डिग्री क्या होती है?
बहुपद की डिग्री सबसे ऊँची शक्ति होती है जिस पर चर की शक्ति होती है। उदाहरण : 3×4−2×3+x−53x^4 – 2x^3 + x – 5 में, डिग्री 4 है।
4. बहुपद का मान कैसे निकालते हैं?
यदि p(x)=2×2−3x+4p(x) = 2x^2 – 3x + 4 और x=2x = 2, तो p(2)=2(2)2−3(2)+4=8−6+4=6p(2) = 2(2)^2 – 3(2) + 4 = 8 – 6 + 4 = 6 होता है।
5. बहुपद की संगीनी संख्याएँ क्या होती हैं?
संगीनी संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो बहुपद के प्रत्येक सदस्य को मान देती हैं। उदाहरण : बहुपद 2×2−3x+42x^2 – 3x + 4 की संगीनी संख्याएँ 2,−12, -1 आदि हो सकती हैं।
6. बहुपद का गुणा कैसे किया जाता है?
दो बहुपदों का गुणा करते समय, हर सदस्य को दूसरे बहुपद के हर सदस्य से गुणा किया जाता है। उदाहरण : (x+2)⋅(x−3)=x2−3x+2x−6=x2−x−6(x + 2) \cdot (x – 3) = x^2 – 3x + 2x – 6 = x^2 – x – 6।
7. बहुपद का भाग कैसे किया जाता है?
बहुपद का भाग विभाजन विधि से किया जाता है, जिसमें प्रत्येक सदस्य को भागफल से भाग किया जाता है। उदाहरण : x3−4×2+5x−6x−2\frac{x^3 – 4x^2 + 5x – 6}{x – 2} को भाग देने पर (x2−2x+3)(x^2 – 2x + 3) प्राप्त होगा।
8. बहुपद का जोड़ और घटाव कैसे किया जाता है?
बहुपद के जोड़ और घटाव में समान शक्ति वाले सदस्य जोड़ या घटाए जाते हैं। उदाहरण: (3×2+2x)+(x2−4x)=4×2−2x(3x^2 + 2x) + (x^2 – 4x) = 4x^2 – 2x।
9. बहुपद की संगीनी संख्याओं की पहचान कैसे की जाती है?
संगीनी संख्याएँ वे होती हैं जिनसे बहुपद को 00 के रूप में बदलते हैं। उदाहरण : x2−4x^2 – 4 की संगीनी संख्याएँ x=2x = 2 और x=−2x = -2 हैं।
10. बहुपद का कारक (Factor) क्या होता है?
बहुपद का कारक वह बहुपद होता है जिससे पूरा बहुपद विभाजित हो जाता है। उदाहरण: x2−1x^2 – 1 का कारक (x−1)(x+1)(x – 1)(x + 1) है।
11. बहुपद की सीमा क्या होती है?
बहुपद की सीमा, उसकी डिग्री और गुणांक के आधार पर उसकी वृद्धि या कमी को दर्शाती है। उच्च डिग्री का बहुपद बड़े मान पर तेजी से बढ़ता या घटता है।
12. बहुपद की विश्लेषण विधि क्या है?
विश्लेषण विधि में, बहुपद को सरल रूप में लाने के लिए इसे कारकों में विभाजित किया जाता है। उदाहरण: x3−4x=x(x2−4)=x(x−2)(x+2)x^3 – 4x = x(x^2 – 4) = x(x – 2)(x + 2)।
13. बहुपद के पुनर्संयोजन (Rearrangement) का क्या मतलब है?
पुनर्संयोजन का मतलब है कि बहुपद के सदस्यों को उनके शक्ति के अनुसार क्रम में रखा जाए। उदाहरण: 2×3+4x−5x22x^3 + 4x – 5x^2 को −5×2+2×3+4x-5x^2 + 2x^3 + 4x में पुनर्संयोजित किया जाता है।
14. बहुपद में चर के वैल्यू की जांच कैसे की जाती है?
चर के वैल्यू की जांच के लिए, बहुपद में चर की मान डालकर गणना की जाती है। उदाहरण: p(x)=3×2+2p(x) = 3x^2 + 2 और x=−1x = -1, तो p(−1)=3(−1)2+2=3+2=5p(-1) = 3(-1)^2 + 2 = 3 + 2 = 5।
15. बहुपद के त्रुटियों को कैसे सुधारा जा सकता है?
बहुपद की त्रुटियों को सही करने के लिए, गुणांक और शक्ति की सही पहचान और गणना की जाती है। उदाहरण: गलत जोड़ में 2×2+3x2x^2 + 3x और x2−xx^2 – x के जोड़ में पुनः जांच की जाती है।
16. बहुपद की आंशिक विभाजन विधि क्या है?
आंशिक विभाजन विधि में, बहुपद को सरल भागों में विभाजित किया जाता है। उदाहरण: 3×3+5×2−2x+1\frac{3x^3 + 5x^2 – 2}{x + 1} को 3×2−x+11\frac{3x^2 – x + 1}{1} में विभाजित किया जाता है।
17. बहुपद के उच्चतम और निम्नतम गुणांक क्या होते हैं?
उच्चतम गुणांक वह होता है जो बहुपद की सबसे ऊँची शक्ति के साथ संबंधित होता है, और निम्नतम गुणांक वह होता है जो सबसे कम शक्ति के साथ संबंधित होता है। उदाहरण: 4×3+2x−74x^3 + 2x – 7 में उच्चतम गुणांक 4 और निम्नतम गुणांक -7 है।
18. बहुपद के गुणांक नियम क्या होते हैं?
गुणांक नियम के अनुसार, गुणन और विभाजन में, गुणांक को प्रत्येक पद के साथ लागू किया जाता है। उदाहरण: 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6।
19. बहुपद का गुणांक त्रुटि कैसे जांची जाती है?
गुणांक त्रुटि की जांच करने के लिए, गणना में प्रत्येक पद की सही पहचान की जाती है। उदाहरण: 2×2+4x−32x^2 + 4x – 3 में गुणांक की जांच 2,4,−32, 4, -3 के सही जोड़ से की जाती है।
20. बहुपद का अंतर (Difference) कैसे निकाला जाता है?
दो बहुपदों का अंतर निकालने के लिए, उनके समान शक्ति वाले सदस्य घटाए जाते हैं। उदाहरण: (3×2+2x)−(x2−4x)=2×2+6x(3x^2 + 2x) – (x^2 – 4x) = 2x^2 + 6x।
21. बहुपद की संगीनी संख्याओं की खोज कैसे की जाती है?
संगीनी संख्याएँ खोजने के लिए, बहुपद को 00 के रूप में सेट करके xx की वैल्यू निकालनी होती है। उदाहरण: x2−5x+6x^2 – 5x + 6 की संगीनी संख्याएँ x=2x = 2 और x=3x = 3 होती हैं।
22. बहुपद के एकल और द्वैतीयक वर्ग क्या होते हैं?
एकल वर्ग में एक ही पद होता है जैसे 5x25x^2, और द्वैतीयक वर्ग में दो पद होते हैं जैसे 2×2−3x2x^2 – 3x।
23. बहुपद की कारक विधि क्या है?
कारक विधि में, बहुपद को ऐसे कारकों में विभाजित किया जाता है जिससे बहुपद को गुणा किया जा सके। उदाहरण: x2−4=(x−2)(x+2)x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)।
24. बहुपद के विश्लेषण के लिए कौन-कौन सी विधियाँ होती हैं?
विश्लेषण के लिए विधियाँ जैसे कि कारक विधि, पुनर्संयोजन, और भाग विधि का उपयोग किया जाता है। उदाहरण: x2−5x+6x^2 – 5x + 6 को (x−2)(x−3)(x – 2)(x – 3) में विभाजित किया जाता है।
25. बहुपद के ग्राफ कैसे बनाए जाते हैं?
बहुपद का ग्राफ उसके गुणांक और डिग्री के आधार पर बनाया जाता है। उदाहरण: y=x2−4y = x^2 – 4 का ग्राफ एक पराबोलिक आकार में होता है।
26. बहुपद का जोड़ और गुणन में क्या अंतर होता है?
जोड़ में, बहुपद के समान शक्ति वाले सदस्यों को जोड़ा जाता है, जबकि गुणन में, प्रत्येक सदस्य को दूसरे बहुपद के हर सदस्य से गुणा किया जाता है।
27. बहुपद के गुणांक का जोड़ और घटाव कैसे किया जाता है?
गुणांक का जोड़ और घटाव बहुपद में समान शक्ति वाले सदस्यों को जोड़ने और घटाने से किया जाता है। उदाहरण: 2×3+4x2x^3 + 4x और 3×3−x3x^3 – x को जोड़ने पर 5×3+3x5x^3 + 3x प्राप्त होता है।
28. बहुपद की सामान्य और विशेष स्थितियाँ क्या होती हैं?
सामान्य स्थिति में, बहुपद सामान्य गुणांक और शक्ति के साथ होता है, जबकि विशेष स्थिति में, यह एक विशेष रूप में होता है जैसे कि पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन।
29. बहुपद की पुनरावृत्ति और विश्लेषण विधि क्या होती है?
पुनरावृत्ति में, बहुपद के तत्वों को बार-बार जांचा जाता है, और विश्लेषण विधि में, बहुपद को उसके कारकों में विभाजित किया जाता है। उदाहरण: x3−3xx^3 – 3x को x(x2−3)x(x^2 – 3) में विभाजित किया जाता है।
30. बहुपद के गुणांक नियमों की व्याख्या क्या होती है?
गुणांक नियमों में गुणन और विभाजन में गुणांक की सही पहचान और गणना की जाती है। उदाहरण: 3(x+2)3(x + 2) को 3x+63x + 6 में विभाजित किया जाता है।
